ТЕОРЕМА ЗА КИНЕТИЧНИЯ МОМЕНТ НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА

Фиг.1

В предишна тема беше дефинирано понятието "кинетичен момент на материална точка" като векторно произведение от разстоянието до точката, за която търсим момента и количеството на движението (фиг.1) Ã:

.

Беше дефинирана и теорема за кинетичния момент на точка, изразяваща се с уравнението

,

където М_О^Р е момента на силата, действаща върху точката.

Фиг.2 ·

Когато разглеждаме механична система от точки, такова уравнение ще важи за всяка i^та точка (фиг.2):

Ã.

За материална система от n на брой точки ще се получи система от n на брой такива уравнения. От сумирането на левите и десните страни на тази система се получава ново равенство:

.

Първият член на този израз може да бъде преработен така:

, от където се вижда, че това е производната на главния вектор на кинетичните

моменти К₀ по отношение на времето.

Вторият член е сума от моментите на външните сили - главен момент .Третият член е сума от моментите на вътрешните сили. Тези сили се формират по пренципа на действието и противодействието между отделните точки. Нека да разгледаме една такава двойка вътрешни сили - силите на взаимодействие между т.М₃ и т.М₅ (фиг.3).

Фиг.3 ·

Тези сили са равни,

Р₃₅ = Р₅₃ ,

но с противоположни посоки. Поради това техните моменти спрямо т.О също ще бъдат равни по големина:

Р₃₅ h = Р₅₃ h,

и с противоположни знаци:

М₃₅ = -М₅₃ , така че сумата им ще е нула:

М₃₅ + М₅₃ =0 .

Това важи за всяка двойка вътрешни сили, така че окончателно главният момент на вътрешните сили се получава нула:

.

Като се заместят получените изрази в основното уравнение , се получава окончателният вид на теоремата за кинетичния момент на механична система:

,

или: производната по отношение на времето на кинетичния момент спрямо избрана точка е равна на главния момент на външните сили, приложени върху системата, спрямо същата тази точка.

Ако векторното уравнение се проектира върху осите на една координатна система, ще се получи теоремата в скаларната форма

В частния случай, когато моментът на външните сили спрямо някоя от осите е нула, се получава законът за запазване на кинетичния момент. Например за оста х: , или: ако на външните сили спрямо някоя от осите е нула, кинетичният момент на системата спрямо същата точка е постоянна величина.

Теоремата за кинетичния момент най-често се прилага за тела, извършващи ротационно движение. Както вече знаете Ã, това движение се характеризира с ъглова скорост w и ъглово ускорение e. За прегледност (и за да избегнем интегралното смятане) при анализа на движението, тук тялото се представя като дискретна система от точки n на брой точки, отстоящи на разстояние h_i от оста на въртене z и движещи се по окръжност със скорост V_i = w h_i (т.М_i от фиг.4).

Фиг.4 ·

Количеството на движението на тази точка е:

q_i = m_iV_i = m_i w h_i ,

а кинетичният момент:

K_iz = q_i h_i = m_i w h_i h_i = m_i w h_i² .

Кинетичният момент на цялото тяло е сума от кинетичните моменти на отделните точки:

.

Ъгловата скорост е еднаква за всички точки, така че може да бъде извадена пред сумата:

.

Това, което остава в сумата, се дефинира като масов инерционен момент на тялото спрямо оста z:

.

Така, за кинетичния момент се получава окончателно:

Kz =Jz w .

Като се приложи теоремата за кинетичния момент върху това уравнение, ще се получи:

.

Тъй като Jz не зависи от времето, може да бъда изваден пред диференциала:

,

и окончателно да се получи:

,

т.е. ъгловото ускорение на тялото е обратно пропорционално на масовия инерционен момент стрямо оста на въртене. От тук следва, че масовият инерционен момент е мярка за инертността на тялото при ротационно движение, което може да бъде илюстрирано със следния

r Пример №1 Ротационно движение на диск ·

В частния случай, когато моментът на външните сили спрямо някоя от осите е нула, се получава законът за запазване на кинетичния момент. Например за оста х: , или: ако на външните сили спрямо някоя от осите е нула, кинетичният момент на тялото спрямо същата точка е постоянна величина.

Действието на този закон може да бъде илюстрирано със следните два примера:

r Пример №2 Платформа на Жуковски ·

r Пример №3 Падаща котка ·

ПРОДЪЛЖИ >>>