ТЕОРЕМА ЗА КОЛИЧЕСТВОТО НА ДВИЖЕНИЕТО НА МАТЕРИАЛНА СИСТЕМА

Фиг.1

В предишна тема беше дефинирано понятието "количество на движението на материална точка" като вектор, производен на масата и скоростта на точката (фиг.1) Ã:

,

където m е масата на точката, а v е нейната скорост.

Фиг.2 ·

За механична система от n на брой материални точки, количеството на движението Q е сумата от количествата на движението на точките (фиг.2):

.

За всяка точка i от механичната система трябва да важи основното уравнение на динамиката:

(а е ускорението а Р е действащата върху точката сила).

Сумата за всички точки ще бъде

.

Фиг.3 ·

В дясно на равенството има две събираеми, тъй като върху точките действат външни сили Р и вътрешни сили Р* (фиг.3). Както и друг път е споменавано, по принципа на действието и противодействието, вътрешните сили се уравновесяват и за сумата им се получава: . Като вземем това предвид, както и връзката между скорост и ускорение на точка, получаваме:

.

В полученото уравнение m_i са константи и могат да минат под диференциала, а сумата от силите, действащи върху системата, е равна на главния вектор R. Така се получава:

.

Сумата от производните е равна на производната на сумата, така че горното уравнение може да бъде записано и като:

.

Като се вземе предвид въведения израз за количеството на движението на системата, се получава диференциалния вид на теоремата:

,

или:

Производната спрямо времето на количеството на движението на системата е равна на главния вектор на външните сили, действащи върху системата.

Ако R=0, то ® Q=const.

Това уравнение е известно още и като закон за запазване на количеството на движението. Ако този абстрактен начин на представяне на проблема не Ви допада или Ви затруднява, за да изкарате тройка на изпита е необходимо все-пак да илюстрирате действието на този закон със следния прост

r Пример №1 Количка и топче ·

В конкретните технически задачи теоремата се използва в нейния интегриран вид. Той се получава, като първо разделим променливите - всяка да е от различна страна на равенството:

® ,

и интегрираме между началния момент  и крайния момент ‚ на движението:

® .

Интегралът се нарича импулс на силата i ® I_i. Окончателният вид на уравнението става:

,

или:

Промяната на количеството на движението на системата е равно на сумата от импулсите на външните сили, действащи върху системата.

Понякога в техническите задачи е по-удобно да се работи с центъра на тежестта С на системата, като в него се концентрира цялата маса . По този начин количеството на движението става Q=M_cV_c. Като диференцираме двете страни на равенството:

® .

Това уравнение изразява теоремата за движение на масовия цинтър: масовият център на системата се движи като една точка, върху която са приложени всички външни сили, действащи върху системата, и с маса, равна на масата на цялата система.

За тройкаджиите (за отличниците - също): отново един прост илюстриращ

r Пример №2 Човек и лодка ·

ПРОДЪЛЖИ >>>